Коливання і хвилі · резонанс
Механічні коливання і резонанс: формули та розв'язання
Коливання — наскрізна тема механіки й хвильової фізики. Розберемо гармонічні та вимушені коливання, резонанс і формули, які найчастіше потрібні в задачах.
Що таке механічні коливання і резонанс
Механічні коливання — це повторюваний рух системи біля положення рівноваги. Вимушені коливання відбуваються під дією періодичної зовнішньої сили; коли її частота наближається до власної частоти системи, настає резонанс — різке зростання амплітуди.
Ключові поняття
- Амплітуда вимушених коливань максимальна на резонансній частоті; висоту й гостроту піку визначає згасання (добротність).
- При резонансі зсув фаз між вимушувальною силою і зміщенням наближається до π/2.
Формули
x = A·cos(ωt + φ₀)— рівняння гармонічного коливання
ω₀ = √(k/m); ω₀ = √(g/l)— власна частота: пружинний / математичний маятник
T = 2π / ω— період коливань
ωрез = √(ω₀² − 2β²)— резонансна частота (β — коефіцієнт згасання)
A = √(A₁² + A₂² + 2A₁A₂·cosΔφ)— додавання коливань одного напрямку
Як розв’язувати задачі
- Запишіть рівняння коливання й визначте амплітуду, частоту, початкову фазу.
- Знайдіть власну частоту ω₀ і період T = 2π/ω.
- Для резонансу обчисліть ωрез з урахуванням згасання.
- Для додавання коливань застосуйте формулу амплітуди або векторну діаграму.
Готові розв’язані задачі
Часті питання
Що таке резонанс простими словами?▾
Це різке зростання амплітуди вимушених коливань, коли частота зовнішньої сили збігається з власною частотою системи. Приклад — розгойдування гойдалки в такт поштовхам.
Яка формула періоду коливань?▾
T = 2π/ω. Для пружинного маятника T = 2π√(m/k), для математичного — T = 2π√(l/g).
Чому дорівнює резонансна частота?▾
З урахуванням згасання ωрез = √(ω₀² − 2β²), де ω₀ — власна частота, β — коефіцієнт згасання. За малого згасання ωрез ≈ ω₀.
Як додати два коливання одного напрямку?▾
Результуюча амплітуда A = √(A₁² + A₂² + 2A₁A₂cosΔφ), де Δφ — різниця фаз. Зручно використовувати метод векторних діаграм.