Ряди · числові ряди
Числові ряди: збіжність та ознаки Даламбера і Коші
Числові ряди — важлива тема математичного аналізу. Головне питання — чи збігається ряд. Розберемо ознаки збіжності, які найчастіше застосовують у задачах.
Що таке числовий ряд
Числовий ряд — це сума нескінченної послідовності чисел a₁ + a₂ + a₃ + … Ряд називають збіжним, якщо існує скінченна границя послідовності його часткових сум Sₙ; інакше — розбіжним.
Ознаки збіжності
- Необхідна ознака: якщо ряд збіжний, то його загальний член прямує до нуля (aₙ → 0). Якщо aₙ не прямує до 0 — ряд розбіжний.
- Ознака Даламбера й радикальна ознака Коші порівнюють ряд із геометричною прогресією.
- Ознака порівняння: збіжність визначають порівнянням з відомим рядом.
Формули
lim aₙ = 0— необхідна ознака збіжності
lim (aₙ₊₁ / aₙ) = L— ознака Даламбера: L<1 — збіжний, L>1 — розбіжний
lim ⁿ√aₙ = L— радикальна ознака Коші
Σ 1/nᵖ— ряд збіжний при p > 1, розбіжний при p ≤ 1
Гармонічний ряд Σ1/n розбіжний, хоча його загальний член прямує до нуля — тому необхідна ознака не є достатньою.
Як розв’язувати задачі
- Перевірте необхідну ознаку: якщо aₙ не прямує до 0 — ряд одразу розбіжний.
- Оберіть ознаку за виглядом aₙ: з факторіалами/степенями — Даламбера; зі степенем n у показнику — Коші.
- Для дробово-степеневих виразів зручна ознака порівняння з рядом Σ1/nᵖ.
Готові розв’язані задачі
Часті питання
Коли числовий ряд збігається?▾
Ряд збіжний, якщо існує скінченна границя послідовності його часткових сум Sₙ. Для перевірки застосовують ознаки збіжності (Даламбера, Коші, порівняння).
У чому суть ознаки Даламбера?▾
Обчислюють границю L = lim(aₙ₊₁/aₙ). Якщо L < 1 — ряд збіжний, якщо L > 1 — розбіжний, якщо L = 1 — ознака не дає відповіді.
Чому гармонічний ряд розбіжний?▾
У ряді Σ1/n загальний член прямує до нуля, але цього недостатньо — сума часткових сум необмежено зростає, тому ряд розбіжний. Це показує, що необхідна ознака не є достатньою.