Математичний аналіз · дослідження функції
Дослідження функції: екстремуми, монотонність, графік
Дослідження функції — одне з головних застосувань похідної. Розберемо, як знаходити проміжки монотонності та точки екстремуму, зокрема для функції двох змінних.
У чому суть дослідження функції
Дослідження функції за допомогою похідної — це визначення проміжків зростання й спадання, точок максимуму та мінімуму (екстремумів), а для функції двох змінних — точок екстремуму через частинні похідні.
Ознаки екстремуму
- Функція зростає там, де f′(x) > 0, і спадає там, де f′(x) < 0.
- Необхідна умова екстремуму: f′(x) = 0 (критична точка).
- Достатня умова: якщо f″(x) > 0 — мінімум, якщо f″(x) < 0 — максимум.
Формули
f′(x) = 0— критичні точки (кандидати в екстремуми)
f″(x) > 0 → min, f″(x) < 0 → max— достатня умова екстремуму
D = f″xx·f″yy − (f″xy)²— визначник для екстремуму функції z(x, y)
Для z(x, y): у критичній точці, якщо D > 0 і f″xx > 0 — мінімум; D > 0 і f″xx < 0 — максимум; D < 0 — екстремуму немає (сідлова точка).
Як розв’язувати задачі
- Знайдіть похідну (для z(x,y) — частинні похідні) і прирівняйте до нуля — це критичні точки.
- Дослідіть знак першої похідної навколо критичних точок або обчисліть другу похідну.
- Для функції двох змінних застосуйте достатню умову через визначник D.
Готові розв’язані задачі
Часті питання
Як знайти точки екстремуму функції?▾
Знайти похідну, прирівняти до нуля (f′(x)=0) — це критичні точки. Потім за зміною знака f′ або за знаком f″ визначити, чи це максимум, мінімум, чи екстремуму немає.
Що таке критична точка?▾
Точка, у якій похідна дорівнює нулю або не існує. Це кандидат на екстремум, але екстремум там не обов’язково є — потрібна перевірка достатньої умови.
Як досліджувати на екстремум функцію двох змінних?▾
Знайти частинні похідні, прирівняти до нуля (критичні точки), а потім за визначником D = f″xx·f″yy − (f″xy)² визначити тип: D>0 і f″xx>0 — мінімум, D>0 і f″xx<0 — максимум, D<0 — сідлова точка.