Аналітична геометрія · площини
Дотична площина і нормаль до поверхні: рівняння
Складання рівнянь дотичної площини й нормалі до поверхні — типове завдання аналітичної геометрії, що спирається на частинні похідні. Розберемо формули та порядок дій.
Що таке дотична площина і нормаль
Дотична площина до поверхні в точці — це площина, що містить дотичні до всіх кривих поверхні, які проходять через цю точку. Нормаль — пряма, перпендикулярна до дотичної площини в точці дотику.
Ключова ідея
- Напрямний вектор нормалі до поверхні збігається з градієнтом функції у точці.
- Дотична площина визначається значеннями частинних похідних у точці дотику.
Формули
A(x−x₀) + B(y−y₀) + C(z−z₀) = 0— загальне рівняння площини через точку й нормаль (A;B;C)
z − z₀ = f′ₓ(x−x₀) + f′_y(y−y₀)— дотична площина для поверхні z = f(x, y)
(x−x₀)/f′ₓ = (y−y₀)/f′_y = (z−z₀)/(−1)— канонічне рівняння нормалі
Для неявно заданої поверхні F(x,y,z)=0 напрямний вектор нормалі — це градієнт (F′ₓ; F′_y; F′_z) у точці.
Як розв’язувати задачі
- Обчисліть частинні похідні функції в заданій точці — вони дають нормальний вектор.
- Складіть рівняння дотичної площини за формулою через точку й частинні похідні.
- Запишіть канонічне рівняння нормалі, використавши нормальний вектор як напрямний.
Готові розв’язані задачі
Часті питання
Як скласти рівняння дотичної площини?▾
Для поверхні z = f(x, y): z − z₀ = f′ₓ(x−x₀) + f′_y(y−y₀), де частинні похідні обчислені в точці дотику (x₀; y₀; z₀).
Як знайти нормаль до поверхні?▾
Напрямний вектор нормалі — це вектор із частинних похідних (нормальний вектор дотичної площини). Через нього записують канонічне рівняння прямої-нормалі.
Що таке градієнт у цій задачі?▾
Для неявно заданої поверхні F(x,y,z)=0 градієнт (F′ₓ; F′_y; F′_z) у точці є напрямним вектором нормалі й нормальним вектором дотичної площини.