Диференціальні рівняння · загальний розв’язок
Диференціальні рівняння: типи, методи та приклади
Диференціальні рівняння описують процеси, у яких швидкість зміни величини залежить від самої величини. Розберемо основні типи рівнянь першого порядку та методи їх розв’язання.
Що таке диференціальне рівняння
Диференціальне рівняння — це рівняння, що пов’язує невідому функцію з її похідними. Розв’язком є функція, що перетворює рівняння на тотожність; загальний розв’язок містить довільну сталу C, частинний — конкретне її значення.
Основні типи (перший порядок)
- Рівняння з відокремлюваними змінними: змінні можна розділити по різні боки.
- Однорідні рівняння: зводяться до відокремлюваних заміною y = t·x.
- Лінійні рівняння: y′ + p(x)·y = q(x).
Формули
dy/dx = f(x)·g(y) → ∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx— відокремлювані змінні
y′ + p(x)·y = q(x)— лінійне рівняння першого порядку
y = uv (метод Бернуллі)— заміна для лінійного рівняння
Загальний розв’язок містить сталу C; для знаходження частинного використовують початкову умову y(x₀) = y₀.
Як розв’язувати задачі
- Визначте тип рівняння (відокремлювані, однорідне, лінійне).
- Для відокремлюваних — розділіть змінні й проінтегруйте обидві частини.
- Для лінійних — застосуйте метод варіації сталої або заміну y = uv (Бернуллі).
- За наявності початкової умови знайдіть сталу C і запишіть частинний розв’язок.
Готові розв’язані задачі
Часті питання
Що таке загальний і частинний розв’язок?▾
Загальний розв’язок містить довільну сталу C і описує всю сім’ю розв’язків. Частинний — конкретна функція, отримана з загального за початковою умовою y(x₀) = y₀.
Як розв’язати рівняння з відокремлюваними змінними?▾
Звести до вигляду dy/g(y) = f(x)dx (змінні по різні боки) і проінтегрувати обидві частини.
Що таке лінійне диференціальне рівняння?▾
Рівняння вигляду y′ + p(x)y = q(x). Розв’язується методом варіації довільної сталої або заміною y = uv (метод Бернуллі).