Математичний аналіз · інтеграли
Інтеграли: невизначений і визначений, таблиця та методи
Інтеграл — друге фундаментальне поняття математичного аналізу після похідної. Розберемо невизначений і визначений інтеграли, таблицю та основні методи інтегрування.
Що таке інтеграл
Невизначений інтеграл ∫f(x)dx — це сукупність усіх первісних функції f(x). Визначений інтеграл ∫ₐᵇf(x)dx — це число, що дорівнює площі криволінійної трапеції під графіком функції на відрізку [a; b].
Основні властивості
- Лінійність: сталий множник виноситься за знак інтеграла, інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
- Формула Ньютона-Лейбніца пов’язує визначений інтеграл із первісною.
Формули
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C— степенева функція (n ≠ −1)
∫ dx/x = ln|x| + C— логарифмічний випадок
∫ eˣ dx = eˣ + C; ∫ sin x dx = −cos x + C— показникова і тригонометрична
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)— формула Ньютона-Лейбніца
Основні методи: безпосереднє (табличне) інтегрування, заміна змінної та інтегрування частинами: ∫u dv = uv − ∫v du.
Як розв’язувати задачі
- Визначте метод: табличний, заміна змінної чи інтегрування частинами.
- Знайдіть первісну F(x) (для невизначеного — не забудьте про + C).
- Для визначеного інтеграла застосуйте формулу Ньютона-Лейбніца: підставте верхню й нижню межі.
Готові розв’язані задачі
Часті питання
Чим відрізняється визначений інтеграл від невизначеного?▾
Невизначений інтеграл — це функція (сукупність первісних із + C), а визначений — це число, що дорівнює площі під графіком на відрізку [a; b].
Яка формула Ньютона-Лейбніца?▾
∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a), де F(x) — будь-яка первісна функції f(x). Це основний спосіб обчислення визначених інтегралів.
Що таке інтегрування частинами?▾
Метод за формулою ∫u dv = uv − ∫v du. Застосовується, коли підінтегральний вираз — добуток функцій різних типів (наприклад, x·eˣ).