Лінійна алгебра · матриці
Матриці та визначники: дії, обернена матриця, приклади
Матриці й визначники — основа лінійної алгебри, з якої починається розв’язання систем рівнянь. Розберемо дії над матрицями, обчислення визначника й пошук оберненої матриці.
Що таке матриця і визначник
Матриця — це прямокутна таблиця чисел (елементів), розташованих у рядках і стовпцях. Визначник (детермінант) — це число, яке ставлять у відповідність квадратній матриці; він показує, зокрема, чи існує обернена матриця.
Дії над матрицями
- Додавати можна лише матриці однакового розміру — поелементно.
- Множення: елемент добутку — сума добутків елементів рядка першої матриці на стовпець другої (кількість стовпців першої = кількість рядків другої).
- Обернена матриця A⁻¹ існує лише тоді, коли визначник det A ≠ 0.
Формули
det A = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁— визначник матриці 2×2
A⁻¹ = (1/det A)·Cᵀ— обернена через приєднану матрицю C (алгебраїчні доповнення)
(A·B)ᵢⱼ = Σ aᵢₖ·bₖⱼ— елемент добутку матриць
Визначник 3×3 обчислюють за правилом трикутників (Саррюса) або розкладом за рядком/стовпцем.
Як розв’язувати задачі
- Для добутку матриць перемножуйте рядок першої на стовпець другої.
- Для оберненої матриці: обчисліть det A (має бути ≠ 0), знайдіть алгебраїчні доповнення, складіть приєднану матрицю, транспонуйте й поділіть на det A.
- Перевірте результат: A·A⁻¹ має дорівнювати одиничній матриці.
Готові розв’язані задачі
Часті питання
Як обчислити визначник матриці 2×2?▾
det A = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁ — добуток елементів головної діагоналі мінус добуток елементів побічної.
Коли існує обернена матриця?▾
Обернена матриця A⁻¹ існує лише для квадратної матриці з ненульовим визначником (det A ≠ 0). Таку матрицю називають невиродженою.
Як перемножити дві матриці?▾
Елемент результату (i-й рядок, j-й стовпець) — це сума добутків елементів i-го рядка першої матриці на елементи j-го стовпця другої. Множення можливе, якщо число стовпців першої дорівнює числу рядків другої.