Математичний аналіз · похідна
Похідна функції: таблиця похідних, правила та приклади
Похідна — центральне поняття диференціального числення. Розберемо означення, таблицю похідних та правила диференціювання, які потрібні майже в кожній задачі з вищої математики.
Що таке похідна функції
Похідна функції f(x) у точці — це границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли останній прямує до нуля: f′(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) − f(x)] / Δx. Геометрично похідна дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції.
Правила диференціювання
- Похідна суми дорівнює сумі похідних: (u + v)′ = u′ + v′.
- Похідна добутку: (u·v)′ = u′v + uv′.
- Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v².
- Похідна складної функції (ланцюгове правило): (f(g(x)))′ = f′(g)·g′(x).
Формули
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹— степенева функція
(sin x)′ = cos x; (cos x)′ = −sin x— тригонометричні
(eˣ)′ = eˣ; (aˣ)′ = aˣ·ln a— показникові
(ln x)′ = 1/x— логарифмічна
Частинна похідна функції кількох змінних береться по одній змінній, інші вважаються сталими (позначення ∂z/∂x).
Як розв’язувати задачі
- Визначте тип функції (степенева, тригонометрична, складна, добуток/частка).
- Застосуйте відповідне правило диференціювання та таблицю похідних.
- Для складної функції використайте ланцюгове правило шар за шаром.
- Для функцій кількох змінних беріть частинні похідні по кожній змінній окремо.
Готові розв’язані задачі
Часті питання
Що таке похідна простими словами?▾
Похідна показує швидкість зміни функції — наскільки швидко змінюється значення функції при зміні аргументу. Геометрично це нахил дотичної до графіка.
Як знайти похідну добутку функцій?▾
За правилом (u·v)′ = u′v + uv′: похідна першої на другу плюс перша на похідну другої.
Що таке ланцюгове правило?▾
Правило диференціювання складної функції: (f(g(x)))′ = f′(g)·g′(x) — похідна зовнішньої функції, помножена на похідну внутрішньої.
Що таке частинна похідна?▾
Похідна функції кількох змінних по одній зі змінних, коли інші вважаються сталими. Позначається ∂z/∂x, ∂z/∂y.