Лінійна алгебра · системи рівнянь
Системи лінійних рівнянь: методи Крамера, Гаусса, матричний
Системи лінійних рівнянь — центральна тема лінійної алгебри й типове завдання контрольних робіт. Розберемо три класичні методи: Крамера, матричний та Гаусса.
Що таке система лінійних рівнянь
Система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) — це набір лінійних рівнянь із кількома невідомими. Розв’язком системи є набір значень невідомих, що одночасно задовольняють усі рівняння.
Методи розв’язання
- Метод Крамера застосовний, коли головний визначник системи не дорівнює нулю (Δ ≠ 0).
- Матричний метод використовує обернену матрицю коефіцієнтів.
- Метод Гаусса (послідовне виключення невідомих) універсальний і зручний для великих систем.
Формули
xᵢ = Δᵢ / Δ— метод Крамера (Δ ≠ 0)
X = A⁻¹·B— матричний метод
A·X = B— матричний запис системи
У методі Крамера Δᵢ — визначник, у якому i-й стовпець замінено стовпцем вільних членів.
Як розв’язувати задачі
- Запишіть систему в матричному вигляді A·X = B та обчисліть головний визначник Δ.
- Якщо Δ ≠ 0 — застосуйте метод Крамера (xᵢ = Δᵢ/Δ) або матричний метод (X = A⁻¹B).
- Для великих систем або коли Δ = 0 — використайте метод Гаусса, зводячи матрицю до трикутного вигляду.
Готові розв’язані задачі
Часті питання
Коли можна застосувати метод Крамера?▾
Коли число рівнянь дорівнює числу невідомих і головний визначник системи не дорівнює нулю (Δ ≠ 0). Тоді xᵢ = Δᵢ/Δ.
У чому суть методу Гаусса?▾
Це послідовне виключення невідомих: систему зводять до трикутного вигляду елементарними перетвореннями рядків, після чого невідомі знаходять зворотним ходом.
Як розв’язати систему матричним методом?▾
Записати систему як A·X = B, знайти обернену матрицю A⁻¹ і обчислити X = A⁻¹·B (за умови det A ≠ 0).