Векторна алгебра · вектори
Вектори: скалярний, векторний і мішаний добуток
Вектори — основа аналітичної геометрії. Розберемо три добутки векторів — скалярний, векторний і мішаний — та їхній геометричний зміст.
Що таке вектор і добутки векторів
Вектор — це напрямлений відрізок, що задається координатами (x; y; z). Над векторами визначені три добутки: скалярний (дає число), векторний (дає вектор) і мішаний (дає число, що дорівнює об’єму).
Геометричний зміст
- Скалярний добуток дозволяє знайти кут між векторами й перевірити перпендикулярність (a·b = 0).
- Модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах.
- Модуль мішаного добутку дорівнює об’єму паралелепіпеда; якщо він нуль — вектори компланарні.
Формули
a·b = |a||b|cosφ = aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_z— скалярний добуток
|a×b| = |a||b|sinφ— модуль векторного добутку = площа паралелограма
a×b = |i j k; aₓ a_y a_z; bₓ b_y b_z|— векторний добуток через визначник
(a, b, c) = Vпаралелепіпеда— мішаний добуток = визначник координат
Кут між векторами: cosφ = (a·b)/(|a|·|b|). Площа трикутника на векторах = ½|a×b|.
Як розв’язувати задачі
- Для скалярного добутку — сума добутків однойменних координат.
- Для векторного — обчисліть визначник 3×3 з рядком i, j, k.
- Для мішаного — визначник, складений із координат трьох векторів.
Готові розв’язані задачі
Часті питання
Чим відрізняються скалярний і векторний добутки?▾
Скалярний добуток дає число (a·b = |a||b|cosφ) і пов’язаний з кутом між векторами. Векторний добуток дає вектор, перпендикулярний до обох, а його модуль дорівнює площі паралелограма.
Як знайти кут між векторами?▾
Через скалярний добуток: cosφ = (a·b)/(|a|·|b|), де в чисельнику — сума добутків координат, у знаменнику — добуток довжин векторів.
Що показує мішаний добуток?▾
Мішаний добуток трьох векторів дорівнює (зі знаком) об’єму паралелепіпеда, побудованого на них. Якщо він дорівнює нулю — вектори лежать в одній площині (компланарні).