Теорія ймовірностей · випадкові величини
Випадкові величини: закон розподілу, сподівання, дисперсія
Випадкові величини — центральне поняття теорії ймовірностей. Розберемо їхні закони розподілу та числові характеристики: математичне сподівання й дисперсію.
Що таке випадкова величина
Випадкова величина — це величина, яка внаслідок випробування набуває одного зі своїх можливих значень залежно від випадку. Дискретна випадкова величина задається законом (таблицею) розподілу, неперервна — функцією густини ймовірності.
Числові характеристики
- Математичне сподівання M(X) — середнє значення випадкової величини.
- Дисперсія D(X) характеризує розсіювання значень навколо середнього.
Формули
M(X) = Σ xᵢ·pᵢ— математичне сподівання (дискретна В.В.)
D(X) = M(X²) − (M(X))²— дисперсія
σ = √D(X)— середнє квадратичне відхилення
M(X) = ∫ x·f(x) dx— сподівання неперервної В.В.
Для нормально розподіленої величини ймовірність попадання в інтервал знаходять через функцію Лапласа Φ(x). Сума всіх ймовірностей у законі розподілу дорівнює 1.
Як розв’язувати задачі
- Для дискретної В.В. складіть/використайте таблицю розподілу (значення й ймовірності).
- Обчисліть математичне сподівання M(X) = Σxᵢpᵢ і дисперсію D(X).
- Для неперервної В.В. використайте функцію густини та інтеграли; для нормального розподілу — функцію Лапласа.
Готові розв’язані задачі
Часті питання
Що таке математичне сподівання?▾
Це середнє значення випадкової величини. Для дискретної В.В.: M(X) = Σxᵢpᵢ — сума добутків значень на їх ймовірності.
Як обчислити дисперсію?▾
D(X) = M(X²) − (M(X))² — математичне сподівання квадрата мінус квадрат сподівання. Дисперсія характеризує розкид значень; σ = √D(X) — середнє квадратичне відхилення.
Чим дискретна випадкова величина відрізняється від неперервної?▾
Дискретна набуває окремих (зліченних) значень і задається таблицею розподілу; неперервна набуває будь-яких значень з інтервалу й задається функцією густини ймовірності.