Математичний аналіз · застосування інтеграла
Площа фігури через визначений інтеграл: формули та приклади
Одне з головних застосувань визначеного інтеграла — обчислення площ фігур. Розберемо формули для площі під кривою, між кривими, а також для об’ємів і довжин дуг.
Як інтеграл пов’язаний із площею
Визначений інтеграл ∫ₐᵇf(x)dx чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції під графіком невід’ємної функції на відрізку [a; b]. Через інтеграл обчислюють також площі між кривими, об’єми тіл обертання й довжини дуг.
Основні застосування
- Площа фігури між двома кривими дорівнює інтегралу від різниці функцій (верхня мінус нижня).
- Об’єм тіла обертання навколо осі Ox обчислюють через інтеграл від квадрата функції.
Формули
S = ∫ₐᵇ f(x) dx— площа криволінійної трапеції
S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx— площа між кривими (f ≥ g)
V = π·∫ₐᵇ f²(x) dx— об’єм тіла обертання навколо Ox
L = ∫ₐᵇ √(1 + (f′(x))²) dx— довжина дуги кривої
Межі інтегрування a і b — це абсциси точок перетину ліній, що обмежують фігуру; їх знаходять, прирівнявши функції.
Як розв’язувати задачі
- Побудуйте ескіз фігури, щоб зрозуміти взаємне розташування ліній.
- Знайдіть межі інтегрування — абсциси точок перетину ліній.
- Складіть інтеграл від різниці функцій (верхня мінус нижня) і обчисліть його.
Готові розв’язані задачі
Часті питання
Як обчислити площу фігури через інтеграл?▾
Площа дорівнює визначеному інтегралу від функції (для фігури під кривою) або від різниці функцій S = ∫ₐᵇ(f(x)−g(x))dx для фігури між двома кривими, де f — верхня, g — нижня межа.
Як знайти межі інтегрування?▾
Межі a і b — це абсциси точок перетину ліній, що обмежують фігуру. Їх знаходять, прирівнявши рівняння ліній одне до одного.
Яка формула об’єму тіла обертання?▾
При обертанні навколо осі Ox: V = π·∫ₐᵇ f²(x)dx, де f(x) — функція, що задає межу фігури.