Ряды · числовые ряды
Числовые ряды: сходимость и признаки Даламбера и Коши
Числовые ряды — важная тема математического анализа. Главный вопрос — сходится ли ряд. Разберём признаки сходимости, которые чаще всего применяют в задачах.
Что такое числовой ряд
Числовой ряд — это сумма бесконечной последовательности чисел a₁ + a₂ + a₃ + … Ряд называют сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм Sₙ; иначе — расходящимся.
Признаки сходимости
- Необходимый признак: если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю (aₙ → 0). Если aₙ не стремится к 0 — ряд расходится.
- Признак Даламбера и радикальный признак Коши сравнивают ряд с геометрической прогрессией.
- Признак сравнения: сходимость определяют сравнением с известным рядом.
Формулы
lim aₙ = 0— необходимый признак сходимости
lim (aₙ₊₁ / aₙ) = L— признак Даламбера: L<1 — сходится, L>1 — расходится
lim ⁿ√aₙ = L— радикальный признак Коши
Σ 1/nᵖ— ряд сходится при p > 1, расходится при p ≤ 1
Гармонический ряд Σ1/n расходится, хотя его общий член стремится к нулю — поэтому необходимый признак не является достаточным.
Как решать задачи
- Проверьте необходимый признак: если aₙ не стремится к 0 — ряд сразу расходится.
- Выберите признак по виду aₙ: с факториалами/степенями — Даламбера; со степенью n в показателе — Коши.
- Для дробно-степенных выражений удобен признак сравнения с рядом Σ1/nᵖ.
Готовые решённые задачи
Частые вопросы
Когда числовой ряд сходится?▾
Ряд сходится, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм Sₙ. Для проверки применяют признаки сходимости (Даламбера, Коши, сравнения).
В чём суть признака Даламбера?▾
Вычисляют предел L = lim(aₙ₊₁/aₙ). Если L < 1 — ряд сходится, если L > 1 — расходится, если L = 1 — признак не даёт ответа.
Почему гармонический ряд расходится?▾
В ряде Σ1/n общий член стремится к нулю, но этого недостаточно — сумма частичных сумм неограниченно возрастает, поэтому ряд расходится. Это показывает, что необходимый признак не является достаточным.