Математический анализ · исследование функции
Исследование функции: экстремумы, монотонность, график
Исследование функции — одно из главных применений производной. Разберём, как находить промежутки монотонности и точки экстремума, в том числе для функции двух переменных.
В чём суть исследования функции
Исследование функции с помощью производной — это определение промежутков возрастания и убывания, точек максимума и минимума (экстремумов), а для функции двух переменных — точек экстремума через частные производные.
Признаки экстремума
- Функция возрастает там, где f′(x) > 0, и убывает там, где f′(x) < 0.
- Необходимое условие экстремума: f′(x) = 0 (критическая точка).
- Достаточное условие: если f″(x) > 0 — минимум, если f″(x) < 0 — максимум.
Формулы
f′(x) = 0— критические точки (кандидаты в экстремумы)
f″(x) > 0 → min, f″(x) < 0 → max— достаточное условие экстремума
D = f″xx·f″yy − (f″xy)²— определитель для экстремума функции z(x, y)
Для z(x, y): в критической точке, если D > 0 и f″xx > 0 — минимум; D > 0 и f″xx < 0 — максимум; D < 0 — экстремума нет (седловая точка).
Как решать задачи
- Найдите производную (для z(x,y) — частные производные) и приравняйте к нулю — это критические точки.
- Исследуйте знак первой производной вокруг критических точек или вычислите вторую производную.
- Для функции двух переменных примените достаточное условие через определитель D.
Готовые решённые задачи
Частые вопросы
Как найти точки экстремума функции?▾
Найти производную, приравнять к нулю (f′(x)=0) — это критические точки. Затем по смене знака f′ или по знаку f″ определить, максимум это, минимум или экстремума нет.
Что такое критическая точка?▾
Точка, в которой производная равна нулю или не существует. Это кандидат на экстремум, но экстремум там не обязательно есть — нужна проверка достаточного условия.
Как исследовать на экстремум функцию двух переменных?▾
Найти частные производные, приравнять к нулю (критические точки), а затем по определителю D = f″xx·f″yy − (f″xy)² определить тип: D>0 и f″xx>0 — минимум, D>0 и f″xx<0 — максимум, D<0 — седловая точка.