Аналитическая геометрия · плоскости
Касательная плоскость и нормаль к поверхности: уравнения
Составление уравнений касательной плоскости и нормали к поверхности — типичная задача аналитической геометрии, опирающаяся на частные производные. Разберём формулы и порядок действий.
Что такое касательная плоскость и нормаль
Касательная плоскость к поверхности в точке — это плоскость, содержащая касательные ко всем кривым поверхности, которые проходят через эту точку. Нормаль — прямая, перпендикулярная касательной плоскости в точке касания.
Ключевая идея
- Направляющий вектор нормали к поверхности совпадает с градиентом функции в точке.
- Касательная плоскость определяется значениями частных производных в точке касания.
Формулы
A(x−x₀) + B(y−y₀) + C(z−z₀) = 0— общее уравнение плоскости через точку и нормаль (A;B;C)
z − z₀ = f′ₓ(x−x₀) + f′_y(y−y₀)— касательная плоскость для поверхности z = f(x, y)
(x−x₀)/f′ₓ = (y−y₀)/f′_y = (z−z₀)/(−1)— каноническое уравнение нормали
Для неявно заданной поверхности F(x,y,z)=0 направляющий вектор нормали — это градиент (F′ₓ; F′_y; F′_z) в точке.
Как решать задачи
- Вычислите частные производные функции в заданной точке — они дают нормальный вектор.
- Составьте уравнение касательной плоскости по формуле через точку и частные производные.
- Запишите каноническое уравнение нормали, используя нормальный вектор как направляющий.
Готовые решённые задачи
Частые вопросы
Как составить уравнение касательной плоскости?▾
Для поверхности z = f(x, y): z − z₀ = f′ₓ(x−x₀) + f′_y(y−y₀), где частные производные вычислены в точке касания (x₀; y₀; z₀).
Как найти нормаль к поверхности?▾
Направляющий вектор нормали — это вектор из частных производных (нормальный вектор касательной плоскости). Через него записывают каноническое уравнение прямой-нормали.
Что такое градиент в этой задаче?▾
Для неявно заданной поверхности F(x,y,z)=0 градиент (F′ₓ; F′_y; F′_z) в точке является направляющим вектором нормали и нормальным вектором касательной плоскости.