Математический анализ · пределы
Предел функции: свойства, замечательные пределы и примеры
Пределы — фундамент математического анализа и первая большая тема курса высшей математики. Разберём определение, свойства и приёмы вычисления пределов без правила Лопиталя.
Что такое предел функции
Предел функции в точке — это значение, к которому стремится функция f(x), когда аргумент x неограниченно приближается к заданной точке a. Обозначается lim(x→a) f(x). Если прямая подстановка даёт неопределённость (0/0, ∞/∞, ∞−∞), её нужно раскрыть.
Свойства пределов
- Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов.
- Предел произведения равен произведению пределов; постоянный множитель выносится за знак предела.
- Предел частного равен частному пределов, если предел знаменателя не равен нулю.
Формулы
lim(x→0) sin x / x = 1— первый замечательный предел
lim(x→∞) (1 + 1/x)ˣ = e— второй замечательный предел
lim(x→0) (1 + x)^(1/x) = e— второй замечательный (эквивалентная форма)
lim(x→0) (eˣ − 1) / x = 1— следствие для показательной функции
При неопределённости 0/0 в дробно-рациональных выражениях числитель и знаменатель раскладывают на множители и сокращают; при ∞/∞ делят на старшую степень.
Как решать задачи
- Подставьте предельное значение аргумента — если неопределённости нет, это и есть ответ.
- Для 0/0 в рациональных выражениях разложите на множители и сократите общий множитель.
- Для ∞/∞ разделите числитель и знаменатель на наивысшую степень x.
- Для тригонометрических или показательных выражений сведите к замечательным пределам.
Готовые решённые задачи
Частые вопросы
Что такое предел функции простыми словами?▾
Это значение, к которому «стремится» функция, когда её аргумент приближается к определённой точке. Предел описывает поведение функции вблизи точки, даже если в самой точке функция не определена.
Какой первый замечательный предел?▾
lim(x→0) sin x / x = 1. Он применяется для раскрытия неопределённостей 0/0 с тригонометрическими функциями.
Какой второй замечательный предел?▾
lim(x→∞) (1 + 1/x)ˣ = e ≈ 2,718. Его эквивалентная форма: lim(x→0) (1 + x)^(1/x) = e.
Как раскрыть неопределённость 0/0?▾
В рациональных выражениях — разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общий множитель; в тригонометрических — свести к первому замечательному пределу.