Математический анализ · интегралы
Интегралы: неопределённый и определённый, таблица и методы
Интеграл — второе фундаментальное понятие математического анализа после производной. Разберём неопределённый и определённый интегралы, таблицу и основные методы интегрирования.
Что такое интеграл
Неопределённый интеграл ∫f(x)dx — это совокупность всех первообразных функции f(x). Определённый интеграл ∫ₐᵇf(x)dx — это число, равное площади криволинейной трапеции под графиком функции на отрезке [a; b].
Основные свойства
- Линейность: постоянный множитель выносится за знак интеграла, интеграл суммы равен сумме интегралов.
- Формула Ньютона-Лейбница связывает определённый интеграл с первообразной.
Формулы
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C— степенная функция (n ≠ −1)
∫ dx/x = ln|x| + C— логарифмический случай
∫ eˣ dx = eˣ + C; ∫ sin x dx = −cos x + C— показательная и тригонометрическая
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)— формула Ньютона-Лейбница
Основные методы: непосредственное (табличное) интегрирование, замена переменной и интегрирование по частям: ∫u dv = uv − ∫v du.
Как решать задачи
- Определите метод: табличный, замена переменной или интегрирование по частям.
- Найдите первообразную F(x) (для неопределённого — не забудьте про + C).
- Для определённого интеграла примените формулу Ньютона-Лейбница: подставьте верхний и нижний пределы.
Готовые решённые задачи
Частые вопросы
Чем отличается определённый интеграл от неопределённого?▾
Неопределённый интеграл — это функция (совокупность первообразных с + C), а определённый — это число, равное площади под графиком на отрезке [a; b].
Какова формула Ньютона-Лейбница?▾
∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a), где F(x) — любая первообразная функции f(x). Это основной способ вычисления определённых интегралов.
Что такое интегрирование по частям?▾
Метод по формуле ∫u dv = uv − ∫v du. Применяется, когда подынтегральное выражение — произведение функций разных типов (например, x·eˣ).