Линейная алгебра · матрицы
Матрицы и определители: действия, обратная матрица, примеры
Матрицы и определители — основа линейной алгебры, с которой начинается решение систем уравнений. Разберём действия над матрицами, вычисление определителя и поиск обратной матрицы.
Что такое матрица и определитель
Матрица — это прямоугольная таблица чисел (элементов), расположенных в строках и столбцах. Определитель (детерминант) — это число, которое ставят в соответствие квадратной матрице; он показывает, в частности, существует ли обратная матрица.
Действия над матрицами
- Складывать можно только матрицы одинакового размера — поэлементно.
- Умножение: элемент произведения — сумма произведений элементов строки первой матрицы на столбец второй (число столбцов первой = число строк второй).
- Обратная матрица A⁻¹ существует только тогда, когда определитель det A ≠ 0.
Формулы
det A = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁— определитель матрицы 2×2
A⁻¹ = (1/det A)·Cᵀ— обратная через присоединённую матрицу C (алгебраические дополнения)
(A·B)ᵢⱼ = Σ aᵢₖ·bₖⱼ— элемент произведения матриц
Определитель 3×3 вычисляют по правилу треугольников (Саррюса) или разложением по строке/столбцу.
Как решать задачи
- Для произведения матриц перемножайте строку первой на столбец второй.
- Для обратной матрицы: вычислите det A (должен быть ≠ 0), найдите алгебраические дополнения, составьте присоединённую матрицу, транспонируйте и разделите на det A.
- Проверьте результат: A·A⁻¹ должно равняться единичной матрице.
Готовые решённые задачи
Частые вопросы
Как вычислить определитель матрицы 2×2?▾
det A = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁ — произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной.
Когда существует обратная матрица?▾
Обратная матрица A⁻¹ существует только для квадратной матрицы с ненулевым определителем (det A ≠ 0). Такую матрицу называют невырожденной.
Как перемножить две матрицы?▾
Элемент результата (i-я строка, j-й столбец) — это сумма произведений элементов i-й строки первой матрицы на элементы j-го столбца второй. Умножение возможно, если число столбцов первой равно числу строк второй.