Математический анализ · производная
Производная функции: таблица производных, правила и примеры
Производная — центральное понятие дифференциального исчисления. Разберём определение, таблицу производных и правила дифференцирования, которые нужны почти в каждой задаче по высшей математике.
Что такое производная функции
Производная функции f(x) в точке — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю: f′(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) − f(x)] / Δx. Геометрически производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции.
Правила дифференцирования
- Производная суммы равна сумме производных: (u + v)′ = u′ + v′.
- Производная произведения: (u·v)′ = u′v + uv′.
- Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v².
- Производная сложной функции (цепное правило): (f(g(x)))′ = f′(g)·g′(x).
Формулы
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹— степенная функция
(sin x)′ = cos x; (cos x)′ = −sin x— тригонометрические
(eˣ)′ = eˣ; (aˣ)′ = aˣ·ln a— показательные
(ln x)′ = 1/x— логарифмическая
Частная производная функции нескольких переменных берётся по одной переменной, остальные считаются постоянными (обозначение ∂z/∂x).
Как решать задачи
- Определите тип функции (степенная, тригонометрическая, сложная, произведение/частное).
- Примените соответствующее правило дифференцирования и таблицу производных.
- Для сложной функции используйте цепное правило слой за слоем.
- Для функций нескольких переменных берите частные производные по каждой переменной отдельно.
Готовые решённые задачи
Частые вопросы
Что такое производная простыми словами?▾
Производная показывает скорость изменения функции — насколько быстро меняется значение функции при изменении аргумента. Геометрически это наклон касательной к графику.
Как найти производную произведения функций?▾
По правилу (u·v)′ = u′v + uv′: производная первой на вторую плюс первая на производную второй.
Что такое цепное правило?▾
Правило дифференцирования сложной функции: (f(g(x)))′ = f′(g)·g′(x) — производная внешней функции, умноженная на производную внутренней.
Что такое частная производная?▾
Производная функции нескольких переменных по одной из переменных, когда остальные считаются постоянными. Обозначается ∂z/∂x, ∂z/∂y.