Векторная алгебра · векторы
Векторы: скалярное, векторное и смешанное произведение
Векторы — основа аналитической геометрии. Разберём три произведения векторов — скалярное, векторное и смешанное — и их геометрический смысл.
Что такое вектор и произведения векторов
Вектор — это направленный отрезок, задаваемый координатами (x; y; z). Над векторами определены три произведения: скалярное (даёт число), векторное (даёт вектор) и смешанное (даёт число, равное объёму).
Геометрический смысл
- Скалярное произведение позволяет найти угол между векторами и проверить перпендикулярность (a·b = 0).
- Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах.
- Модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда; если он равен нулю — векторы компланарны.
Формулы
a·b = |a||b|cosφ = aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_z— скалярное произведение
|a×b| = |a||b|sinφ— модуль векторного произведения = площадь параллелограмма
a×b = |i j k; aₓ a_y a_z; bₓ b_y b_z|— векторное произведение через определитель
(a, b, c) = Vпаралелепіпеда— смешанное произведение = определитель координат
Угол между векторами: cosφ = (a·b)/(|a|·|b|). Площадь треугольника на векторах = ½|a×b|.
Как решать задачи
- Для скалярного произведения — сумма произведений одноимённых координат.
- Для векторного — вычислите определитель 3×3 со строкой i, j, k.
- Для смешанного — определитель, составленный из координат трёх векторов.
Готовые решённые задачи
Частые вопросы
Чем отличаются скалярное и векторное произведения?▾
Скалярное произведение даёт число (a·b = |a||b|cosφ) и связано с углом между векторами. Векторное произведение даёт вектор, перпендикулярный обоим, а его модуль равен площади параллелограмма.
Как найти угол между векторами?▾
Через скалярное произведение: cosφ = (a·b)/(|a|·|b|), где в числителе — сумма произведений координат, в знаменателе — произведение длин векторов.
Что показывает смешанное произведение?▾
Смешанное произведение трёх векторов равно (со знаком) объёму параллелепипеда, построенного на них. Если оно равно нулю — векторы лежат в одной плоскости (компланарны).