Теория вероятностей · случайные величины
Случайные величины: закон распределения, математическое ожидание, дисперсия
Случайные величины — центральное понятие теории вероятностей. Разберём их законы распределения и числовые характеристики: математическое ожидание и дисперсию.
Что такое случайная величина
Случайная величина — это величина, которая в результате испытания принимает одно из своих возможных значений в зависимости от случая. Дискретная случайная величина задаётся законом (таблицей) распределения, непрерывная — функцией плотности вероятности.
Числовые характеристики
- Математическое ожидание M(X) — среднее значение случайной величины.
- Дисперсия D(X) характеризует рассеяние значений вокруг среднего.
Формулы
M(X) = Σ xᵢ·pᵢ— математическое ожидание (дискретная С.В.)
D(X) = M(X²) − (M(X))²— дисперсия
σ = √D(X)— среднее квадратичное отклонение
M(X) = ∫ x·f(x) dx— ожидание непрерывной С.В.
Для нормально распределённой величины вероятность попадания в интервал находят через функцию Лапласа Φ(x). Сумма всех вероятностей в законе распределения равна 1.
Как решать задачи
- Для дискретной С.В. составьте/используйте таблицу распределения (значения и вероятности).
- Вычислите математическое ожидание M(X) = Σxᵢpᵢ и дисперсию D(X).
- Для непрерывной С.В. используйте функцию плотности и интегралы; для нормального распределения — функцию Лапласа.
Готовые решённые задачи
Частые вопросы
Что такое математическое ожидание?▾
Это среднее значение случайной величины. Для дискретной С.В.: M(X) = Σxᵢpᵢ — сумма произведений значений на их вероятности.
Как вычислить дисперсию?▾
D(X) = M(X²) − (M(X))² — математическое ожидание квадрата минус квадрат ожидания. Дисперсия характеризует разброс значений; σ = √D(X) — среднее квадратичное отклонение.
Чем дискретная случайная величина отличается от непрерывной?▾
Дискретная принимает отдельные (счётные) значения и задаётся таблицей распределения; непрерывная принимает любые значения из интервала и задаётся функцией плотности вероятности.