Математический анализ · применение интеграла
Площадь фигуры через определённый интеграл: формулы и примеры
Одно из главных применений определённого интеграла — вычисление площадей фигур. Разберём формулы для площади под кривой, между кривыми, а также для объёмов и длин дуг.
Как интеграл связан с площадью
Определённый интеграл ∫ₐᵇf(x)dx численно равен площади криволинейной трапеции под графиком неотрицательной функции на отрезке [a; b]. Через интеграл вычисляют также площади между кривыми, объёмы тел вращения и длины дуг.
Основные применения
- Площадь фигуры между двумя кривыми равна интегралу от разности функций (верхняя минус нижняя).
- Объём тела вращения вокруг оси Ox вычисляют через интеграл от квадрата функции.
Формулы
S = ∫ₐᵇ f(x) dx— площадь криволинейной трапеции
S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx— площадь между кривыми (f ≥ g)
V = π·∫ₐᵇ f²(x) dx— объём тела вращения вокруг Ox
L = ∫ₐᵇ √(1 + (f′(x))²) dx— длина дуги кривой
Пределы интегрирования a и b — это абсциссы точек пересечения линий, ограничивающих фигуру; их находят, приравняв функции.
Как решать задачи
- Постройте эскиз фигуры, чтобы понять взаимное расположение линий.
- Найдите пределы интегрирования — абсциссы точек пересечения линий.
- Составьте интеграл от разности функций (верхняя минус нижняя) и вычислите его.
Готовые решённые задачи
Частые вопросы
Как вычислить площадь фигуры через интеграл?▾
Площадь равна определённому интегралу от функции (для фигуры под кривой) или от разности функций S = ∫ₐᵇ(f(x)−g(x))dx для фигуры между двумя кривыми, где f — верхняя, g — нижняя граница.
Как найти пределы интегрирования?▾
Пределы a и b — это абсциссы точек пересечения линий, ограничивающих фигуру. Их находят, приравняв уравнения линий друг к другу.
Какова формула объёма тела вращения?▾
При вращении вокруг оси Ox: V = π·∫ₐᵇ f²(x)dx, где f(x) — функция, задающая границу фигуры.