3.5. За допомогою максвеллівської функції розподілу за швидкостями f(v) = Av^2 e^(-mv^2/2kT) обчислити найбільш імовірну де-бройлівську довжину хвилі молекул водню, що знаходяться у термодинамічній

Описание

Квантова фізика. Хвильові властивості частинок (хвилі де Бройля) →
Дано: Газ — водень H₂, m — маса молекули (m ≈ 3,3·10⁻²⁷ кг); T = 300 К; швидкості за розподілом Максвелла f(v) = A·v²·e^(−mv²/2kT). Знайти найбільш імовірну де-бройлівську довжину хвилі λ. Сталі: h, k.
Закон: Гіпотеза де Бройля: частинці з імпульсом p = mv відповідає хвиля довжиною λ = h/p = h/(mv). Швидкості молекул ідеального газу описуються максвеллівським розподілом.
Формула:
λ = h/(mv). Найімовірніше λ — з максимуму розподілу за довжинами хвиль f(λ) ∝ λ⁻⁴·e^(−h²/2mkTλ²): λ_найім = h/(2√(mkT)) = h/√(4mkT).
Метод: Ключова тонкість: не підставляти напряму найімовірнішу швидкість v_ім = √(2kT/m). Треба перейти від f(v) до розподілу за λ заміною v = h/(mλ) з множником |dv/dλ|, отримавши f(λ) ∝ λ⁻⁴·e^(−h²/2mkTλ²), а тоді знайти її максимум (d ln f/dλ = 0). Це дає λ_найім = h/(2√(mkT)), що у √2 разів менше за λ(v_ім). Підстановка m(H₂), T = 300 К → ≈0,9 Å.
Відповідь: 0,9 Å (≈0,89 Å)
Схожі задачі з цієї теми
де-бройлівські довжини хвиль λ' обох частино…m — ?де-бройлівську довжину хвилі λ
Замовити повний розв'язок →