15. Дослідить явище резонансу. Як поводить себе амплітуда коливань, та зсув фаз при вимушених коливаннях. Що означає час встановлення коливання.
55₴
Из чего складывается сумма:
Чистая цена: 55₴
Комиссия сервиса: 0₴
Описание
Коливання і хвилі. Механічні коливання (вимушені коливання, резонанс) →
Дано: Теоретичне (якісне) питання, числових даних немає. Розглядають вимушені коливання осцилятора під дією періодичної зовнішньої сили F(t)=F₀cos(ωt) за наявності згасання (коефіцієнт β).
Закон: Явище резонансу — різке зростання амплітуди вимушених коливань, коли частота зовнішньої сили ω наближається до власної частоти системи ω₀. Описується рівнянням вимушених коливань з тертям: ẍ + 2βẋ + ω₀²x = (F₀/m)cos(ωt), стаціонарний розв'язок якого — гармонічні коливання з частотою вимушувальної сили ω.
Формула:
Амплітуда: A(ω) = (F₀/m) / √((ω₀²−ω²)² + 4β²ω²). Резонансна частота: ω_рез = √(ω₀²−2β²), максимум амплітуди при ω≈ω₀. Зсув фаз між коливанням і силою: tg φ = 2βω/(ω₀²−ω²) (φ змінюється від 0 до π, при резонансі φ=π/2). Час встановлення коливань: τ ≈ 1/β.
Метод: Орієнтир: (1) записати рівняння вимушених коливань і його стаціонарний розв'язок; (2) дослідити залежність A(ω) — амплітуда мала при малих і великих ω, максимальна поблизу ω₀ (резонанс), а гострота піку тим більша, чим менше згасання β; (3) проаналізувати зсув фаз φ(ω): від 0 (сила і зміщення в фазі) через π/2 при резонансі до π; (4) пояснити, що час встановлення τ≈1/β — час, за який згасає власне (перехідне) коливання і встановлюється стаціонарний режим з частотою зовнішньої сили.
Відповідь: Резонанс — різке зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти зовнішньої сили ω до власної частоти ω₀. Амплітуда A(ω)=(F₀/m)/√((ω₀²−ω²)²+4β²ω²) максимальна на резонансній частоті ω_рез=√(ω₀²−2β²) (для малого згасання ω_рез≈ω₀); чим менше β, тим вищий і гостріший пік. Зсув фаз φ між коливанням і силою зростає від 0 до π, проходячи через π/2 при резонансі. Час встановлення τ≈1/β — час, за який згасає перехідне (власне) коливання і встановлюється стаціонарний режим із частотою зовнішньої сили.
Схожі задачі з цієї теми
Fmax, ET — період коливаньA = 5 см = 0,05 м; t = 1 хв = 60 с; N = 150 …
Замовити повний розв'язок →
