Математичний маятник завдовжки l здійснює згасаючі коливання. Логарифмічний декремент згасання λ. Через який час енергія коливань маятника зменшиться в n разів? (t = 0,5 ln n ⋅ √(1+(2π / λ)^2) ⋅ — Задача 1.10

Опис

Механічні коливання і хвилі. Згасаючі коливання →
Дано: l — довжина математичного маятника; λ — логарифмічний декремент згасання; n — у скільки разів зменшується енергія коливань. Знайти: t — час зменшення енергії в n разів.
Закон: Закон згасаючих коливань: амплітуда спадає за експонентою A = A₀·e^(−βt), а енергія пропорційна квадрату амплітуди, тому E = E₀·e^(−2βt) (β — коефіцієнт згасання). Логарифмічний декремент пов'язаний із коефіцієнтом згасання: λ = β·T.
Формула:
E/E₀ = e^(−2βt); λ = β·T; T = 2π/√(ω₀² − β²), де власна частота ω₀ = √(g/l).
Метод: Із умови зменшення енергії в n разів: E₀/E = e^(2βt) = n, звідси t = ln n /(2β). Далі β виражають через декремент β = λ/T, а період згасаючих коливань T — через l і g (підставивши β = λ/T у формулу T = 2π/√(ω₀²−β²), отримують T = √(4π²+λ²)·√(l/g)). Підстановка дає остаточний вираз для t.
Відповідь: t = 0,5·ln n·√(1 + (2π/λ)²)·√(l/g)
Схожі задачі з цієї теми
Теоретичне (якісне) питання, числових даних …Fmax, ET — період коливань
Замовити повний розв'язок →